Interés compuesto y porcentajes: las matemáticas del ahorro

Interés simple vs. interés compuesto

Con interés simple, los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial: 10.000 € al 5% generan 500 € cada año, siempre. Con interés compuesto, los intereses del año anterior se suman al capital y generan nuevos intereses: el segundo año se calculan sobre 10.500 €, el tercero sobre 11.025 €, y así sucesivamente.

La regla del 72

Una regla práctica: divide 72 entre el tipo de interés anual para obtener aproximadamente el número de años que tarda en doblarse tu dinero. Al 6%, tu inversión se dobla cada 72/6 = 12 años. Al 9%, cada 8 años. Esta regla ilustra por qué incluso diferencias pequeñas en la rentabilidad tienen un impacto enorme a largo plazo.

El efecto del tiempo: dos inversores

Inversor A empieza a los 25 años y aporta 200 €/mes durante 10 años (hasta los 35), luego para. Inversor B empieza a los 35 y aporta 200 €/mes durante 30 años. A los 65, asumiendo un 7% anual, el inversor A tiene más dinero a pesar de haber aportado tres veces menos. El tiempo en el mercado supera a la cantidad aportada.

Frecuencia de capitalización

La capitalización mensual produce más que la anual con el mismo tipo nominal. Un 6% capitalizado mensualmente equivale a una TAE del 6,168%. Para inversiones de largo plazo en fondos indexados, la capitalización es continua y automática, ya que los dividendos se reinvierten en el fondo.

Inflación: el enemigo silencioso

Para calcular la rentabilidad real hay que restar la inflación. Si tu inversión rinde un 7% pero la inflación es del 3%, tu rentabilidad real es del 4%. A largo plazo, mantener el dinero en una cuenta corriente sin rentabilidad supone perder poder adquisitivo cada año.

Porcentajes: la base de todo cálculo financiero

Los porcentajes son la herramienta matemática que más se usa fuera de clase de matemáticas: rebajas, hipotecas, subidas de sueldo, resultados electorales, IVA. También son la que más errores genera, porque casi todos son variaciones de las mismas cuatro operaciones. Si dominas estas cuatro, has cubierto prácticamente todo lo que te vas a encontrar.

Caso 1: ¿Qué es el X% de un número?

Fórmula: resultado = número × (X/100). Ejemplo: ¿cuánto es el 15% de 340? → 340 × 0,15 = 51. Uso habitual: calcular la propina, el descuento de unas rebajas, la comisión de un intermediario o los intereses de un crédito.

Caso 2: ¿Qué porcentaje representa A de B?

Fórmula: % = (A/B) × 100. Ejemplo: 45 de 180 → (45/180) × 100 = 25%. Uso habitual: calcular la cuota de mercado, el porcentaje de aprobados, el rendimiento de una inversión o cuánto representa un gasto sobre el presupuesto total.

Caso 3: Variación porcentual entre dos valores

Fórmula: variación = ((nuevo − viejo) / viejo) × 100. Si el precio de un piso pasó de 200.000 € a 230.000 €: variación = ((230.000 − 200.000) / 200.000) × 100 = +15%. Si bajó a 190.000 €: −5%. Fundamental para interpretar datos económicos.

Caso 4: Aplicar un aumento o descuento

Precio final tras descuento del X%: P_final = P_base × (1 − X/100). Precio final tras aumento del X%: P_final = P_base × (1 + X/100). Cuidado con porcentajes encadenados: un descuento del 20% seguido de otro del 20% no es igual a un descuento del 40% (es el 36% total).

El error más caro: subir y bajar el mismo porcentaje no te devuelve al inicio

Si una acción cae un 50 % y luego sube un 50 %, no has recuperado tu dinero: has perdido un 25 %. Partiendo de 100 €, la caída te deja en 50 €, y el 50 % de subida sobre 50 € son solo 25 €, con lo que acabas en 75 €. El motivo es que cada porcentaje se aplica sobre una base distinta: el primero sobre 100, el segundo sobre 50.

Esta asimetría explica por qué recuperarse de una pérdida es más difícil que sufrirla. Para volver a 100 € desde 50 € hace falta una subida del 100 %, no del 50 %. Es el mismo motivo por el que un descuento del 20 % sobre un precio ya rebajado un 20 % suma un 36 % y no un 40 %.

Puntos porcentuales frente a porcentajes

Si un tipo de interés pasa del 2 % al 3 %, ¿ha subido un 1 % o un 50 %? Las dos cosas, según cómo se mida, y de ahí nace una confusión que aparece constantemente en prensa económica. Ha subido un punto porcentual en términos absolutos y un 50 % en términos relativos. Cuando alguien afirma que un impuesto «sube un 2 %» conviene preguntar si se refiere a puntos o a proporción, porque el efecto sobre tu bolsillo es radicalmente distinto.

• •Del 2 % al 3 %: +1 punto porcentual, pero +50 % en términos relativos
• •Del 20 % al 22 %: +2 puntos porcentuales, +10 % relativo
• •Un paro que baja del 12 % al 9 %: −3 puntos, −25 % relativo