Matemáticas de andar por casa: proporciones, unidades y medias ponderadas

La regla de tres es probablemente la primera herramienta matemática que se usa fuera del aula y la última que se olvida. Sirve para ajustar una receta, convertir divisas, calcular un descuento o repartir gastos. Su único punto delicado es distinguir cuándo la proporción es directa y cuándo inversa, y ahí es donde vale la pena detenerse.

Proporcionalidad directa: más de uno, más del otro

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar una por un factor k, la otra también se multiplica por k. Ejemplos: precio y cantidad (si compras el doble, pagas el doble); tiempo y distancia a velocidad constante. La fórmula: si A/B = C/X, entonces X = B × C / A.

Proporcionalidad inversa: más de uno, menos del otro

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una por k, la otra se divide entre k. Ejemplos: número de trabajadores y tiempo para completar una tarea (más trabajadores → menos tiempo); velocidad y tiempo para recorrer una distancia fija. Fórmula: A × B = C × X, entonces X = A × B / C.

Cómo identificar el tipo

Pregúntate: si aumento la primera magnitud, ¿la segunda aumenta (directa) o disminuye (inversa)? Si 3 obreros tardan 10 días, ¿6 obreros tardan más o menos? → Menos. Es inversa. Si 3 kg cuestan 9 €, ¿6 kg cuestan más o menos? → Más. Es directa.

Ejercicio resuelto: mezclas

Una receta para 4 personas necesita 300 g de harina. ¿Cuánta harina para 7 personas? Directa: 4 personas → 300 g; 7 personas → X. X = 7 × 300 / 4 = 525 g. Otro ejemplo: si un grifo llena un depósito en 6 horas, ¿cuánto tardan 4 grifos? Inversa: 1 × 6 = 4 × X; X = 6/4 = 1,5 horas.

La regla de tres compuesta

Cuando intervienen tres magnitudes o más, se encadenan las proporciones una a una. Si 6 obreros levantan 3 muros en 10 días, ¿cuántos días tardarán 9 obreros en levantar 5 muros? Se analiza cada relación por separado: más obreros implica menos días (inversa, factor 6/9), y más muros implica más días (directa, factor 5/3). El resultado es 10 × (6/9) × (5/3) = 11,1 días.

Cuándo la proporcionalidad no se cumple

Conviene recordar que la regla de tres describe un modelo, y la realidad no siempre lo respeta. Si un pintor tarda 6 horas en pintar una habitación, dos pintores no siempre tardan 3: pueden estorbarse, compartir una sola escalera o necesitar coordinarse. Del mismo modo, comprar el doble de cantidad no siempre cuesta el doble, porque aparecen descuentos por volumen.

El caso más engañoso son las velocidades medias. Si vas a un sitio a 100 km/h y vuelves a 50 km/h, tu velocidad media no es 75 km/h sino unos 66,7 km/h, porque pasas el doble de tiempo circulando despacio. Siempre que un problema mezcle proporciones con promedios, conviene comprobar el resultado con un caso numérico concreto.

El teorema de Pitágoras y sus usos reales

Pocas fórmulas se aprenden con tanta desgana y se usan tanto después. El teorema de Pitágoras no es un ejercicio de clase: es la herramienta con la que se comprueba que una pared está a escuadra, se calcula la distancia entre dos puntos de un mapa y se mide la pantalla del televisor que acabas de comprar.

El teorema y su fórmula

En todo triángulo rectángulo: a² + b² = c², donde c es la hipotenusa (el lado mayor, opuesto al ángulo recto) y a, b son los catetos. Tiene más de 370 demostraciones conocidas — más que cualquier otro teorema matemático. La más visual: construye cuadrados sobre cada lado; el área del grande iguala la suma de los dos pequeños.

Conviene fijarse en la condición, porque es donde falla casi todo el mundo: el triángulo tiene que ser rectángulo. Si ninguno de sus ángulos mide 90 grados, la igualdad no se cumple y hay que recurrir al teorema del coseno, que es su generalización. Comprobar dónde está el ángulo recto es siempre el primer paso.

Aplicaciones en arquitectura y construcción

Los albañiles usan el teorema para verificar que un ángulo es recto sin necesidad de transportador: si los lados miden 3, 4 y 5 metros (o cualquier múltiplo), el ángulo opuesto al lado de 5 es exactamente 90°. Esta terna pitagórica (3-4-5) se ha usado desde el Antiguo Egipto para trazar terrenos y construir pirámides.

GPS y distancias en 3D

La distancia entre dos puntos en el espacio tridimensional se calcula con la extensión del teorema: d = √(Δx² + Δy² + Δz²). Los sistemas GPS calculan la posición de tu teléfono triangulando distancias a cuatro satélites usando precisamente esta fórmula, extendida para incluir la corrección relativista.

Pantallas y resoluciones

Las diagonales de pantallas (televisores, portátiles, móviles) se miden en pulgadas usando el teorema: si una pantalla mide 16 × 9 pulgadas, la diagonal es √(16² + 9²) = √(256 + 81) = √337 ≈ 18,4 pulgadas. Los fabricantes usan la diagonal porque es el número más grande y más impresionante.

De ahí sale una trampa comercial que conviene conocer: dos televisores con la misma diagonal pueden tener superficies muy distintas si su relación de aspecto no coincide. Una pantalla 21:9 de 34 pulgadas tiene bastante menos área que una 16:9 de las mismas 34 pulgadas, porque es más alargada. La diagonal impresiona, pero es el área la que determina lo que ves.

Ternas pitagóricas útiles

• •3-4-5: la más conocida, y sus múltiplos 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50
• •5-12-13: cómoda cuando 3-4-5 se queda corta
• •8-15-17 y 7-24-25: útiles en trazados grandes
• •20-21-29: la más equilibrada de las pequeñas

Estas combinaciones son valiosas porque dan lados enteros, así que permiten trazar un ángulo recto exacto con una simple cinta métrica y sin decimales. Es exactamente el método que usaban los agrimensores egipcios con una cuerda de doce nudos, y el que siguen usando hoy los albañiles para replantear una obra.

La media ponderada: proporciones con pesos

La nota media del expediente decide becas, plazas de máster y puntos en una oposición, y sin embargo casi nadie sabe cómo se calcula exactamente la suya. La confusión tiene una razón: en España conviven dos escalas distintas y varias formas de ponderar, así que el mismo expediente puede dar cifras diferentes según quién lo calcule.

Media aritmética vs. media ponderada

La media aritmética da el mismo peso a todas las asignaturas: suma las notas y divide entre el número de asignaturas. La media ponderada da más peso a las asignaturas con más créditos: (suma de nota × créditos) / (suma total de créditos). Para el acceso a másters y oposiciones, casi siempre se usa la ponderada.

La diferencia no es teórica. Un 9 en una optativa de 3 créditos y un 6 en una troncal de 12 dan una media aritmética de 7,5, pero una media ponderada de 6,6. Esa distancia de casi un punto puede ser exactamente la que te deja dentro o fuera de una convocatoria, y explica por qué conviene priorizar el esfuerzo en las asignaturas con más carga crediticia.

El baremo universitario oficial (RD 1125/2003)

En España, la nota media del expediente universitario se calcula según el RD 1125/2003 con valores numéricos: Suspenso = 0, Aprobado = 1, Notable = 2, Sobresaliente = 3, Matrícula de Honor = 4. Esto da una escala de 0 a 4 (no de 0 a 10), lo que puede resultar confuso cuando las universidades la convierten a escala 10.

Conversión a escala 0-10

Para comparar con otros países o para solicitudes internacionales, muchas universidades ofrecen una conversión a escala 0-10. La conversión no es directa: una nota media de 2,8 sobre 4 (Notable alto) no equivale a un 7 sobre 10. Cada universidad puede usar su propia tabla de equivalencias.

¿Por qué puede variar la nota media según quién la calcule?

La secretaría de tu universidad calcula la nota media oficial usando el baremo de créditos reales de tu plan de estudios. Algunas plataformas de solicitud de máster o de oposiciones usan sus propias fórmulas que pueden diferir. Siempre solicita un certificado académico oficial con la nota media calculada por tu universidad.

• •Asignaturas convalidadas o reconocidas: unas universidades las incluyen con su nota de origen y otras las excluyen del cómputo
• •Asignaturas suspendidas: normalmente cuenta solo la convocatoria superada, pero no siempre
• •Créditos de prácticas y TFG: pesan mucho por su alto número de créditos
• •Matrículas de honor: valen 4 puntos en la escala oficial, no 10

Cómo comprobar tu propio cálculo

Si tu estimación no coincide con la de secretaría, la causa suele estar en uno de tres sitios: has usado los créditos equivocados, has incluido asignaturas convalidadas que no computan, o has mezclado las escalas de 0-4 y 0-10. Revisa esos tres puntos antes de reclamar, y pide siempre el desglose por asignaturas para localizar la discrepancia.

Convertir unidades: proporciones con factores fijos

Convertir unidades parece un trámite mecánico, y esa es precisamente la razón por la que sale mal tantas veces: se hace sin pensar. Los errores de conversión han derribado aviones, hundido presupuestos y destruido naves espaciales, casi siempre porque alguien dio por supuesto que todos usaban el mismo sistema.

El accidente de la sonda Mars Climate Orbiter (1999)

La NASA perdió una sonda de 327 millones de dólares porque un equipo usó unidades imperiales (libras-fuerza por segundo) y otro usó el SI (newton-segundos) sin convertir. La nave entró en la atmósfera marciana a un ángulo incorrecto y se destruyó. Es el ejemplo más caro de un error de conversión de unidades de la historia.

No es un caso aislado. En 1983, un Boeing 767 de Air Canada se quedó sin combustible en pleno vuelo porque el repostaje se calculó en libras cuando el avión medía en kilogramos: cargaron menos de la mitad de lo necesario. El aparato planeó hasta un aeródromo en desuso y aterrizó sin víctimas, y el incidente se conoce desde entonces como el «planeador de Gimli».

Temperatura: la conversión que no es multiplicación

A diferencia de casi todas las demás unidades, la temperatura no se convierte multiplicando por un factor. °C a °F: F = C × 9/5 + 32. °F a °C: C = (F − 32) × 5/9. El cero de Fahrenheit no coincide con el de Celsius. Por eso 0°C = 32°F y 100°C = 212°F. Kelvin sí es multiplicativo desde el cero absoluto: K = C + 273,15.

Confusiones habituales de longitud

• •1 milla terrestre = 1.609,34 m ≠ 1 milla náutica (1.852 m)
• •1 pie = 30,48 cm; 1 pulgada = 2,54 cm
• •1 yarda = 0,9144 m (3 pies)
• •1 año luz = 9.461 × 10¹² km (no es una unidad de tiempo)

Masa: el problema de la «libra»

En el sistema imperial hay varias «libras»: la libra avoirdupois (la común, 453,59 g), la libra troy (usada en metales preciosos, 373,24 g) y la libra-fuerza (que no es unidad de masa sino de fuerza). El oro se cotiza en onzas troy (31,10 g), no en onzas avoirdupois (28,35 g). La diferencia es del ~10%.

Masa y peso no son lo mismo

En lenguaje corriente se usan como sinónimos, pero físicamente son magnitudes distintas. La masa mide la cantidad de materia y se expresa en kilogramos; el peso es la fuerza con que la gravedad tira de esa masa y se mide en newtons. Tu masa es idéntica en la Tierra y en la Luna; tu peso en la Luna es la sexta parte. Por eso una báscula, que en realidad mide fuerza, está calibrada para la gravedad terrestre.

El método que evita casi todos los errores

La forma segura de convertir es escribir el factor como una fracción cuyo numerador y denominador valen lo mismo, y colocarlo de modo que la unidad que sobra se cancele. Para pasar 90 km/h a m/s: 90 km/h × (1.000 m / 1 km) × (1 h / 3.600 s) = 25 m/s. Los «km» y las «h» se tachan y solo queda m/s. Si al final las unidades no son las esperadas, el factor estaba invertido.